二次曲線的切線方程式
公式
二次曲線圖形包括拋物線、橢圓、雙曲線，以及它們的旋轉。
代數式皆可表示成如下的形式：
若我們想求這個二次曲線圖形過點 $P(x_0, y_0)$ 的切線方程式，透過「換一半」、「一半的變數換常數」的代換口訣可以快速得到。具體代換規則如下：
\[\begin{aligned} x^2 = xx &\rightarrow x_0x \\ y^2 = yy &\rightarrow y_0y \\ xy = \frac{xy + xy}{2} &\rightarrow \frac{x_0y + xy_0}{2} \\ x = \frac{x + x}{2} &\rightarrow \frac{x_0 + x}{2} \\ y = \frac{y + y}{2} &\rightarrow \frac{y_0 + y}{2} \end{aligned}\]因此，任意二次函數在點 $P(x_0, y_0)$ 的切線方程式為
\[\boxed{ ax_0x + b\frac{x_0y + xy_0}{2} + cy_0y + d\frac{x_0 + x}{2} + e\frac{y_0 + y}{2} + f = 0. }\]例如，圓 $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ 的切線方程式為（若 $P(x_0, y_0)$ 在圓上）：
\[(x_0-h)(x-h) + (y_0-k)(y-k) = r^2.\]證明
若想求 $f(x, y)$ 的切線方程式，我們需先對函數微分，求此函數的斜率方程式：
\[\begin{aligned} (ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f)' &= (0)' \\ 2ax + by + bxy' + 2cyy' + d + ey' &= 0 \\ y'(bx + 2cy + e) &= -2ax - by - d \\ y' &= -\frac{2ax + by + d}{bx + 2cy + e} \end{aligned}\]因此，在點 $P(x_0, y_0)$ 的斜率為：
\[y' = -\frac{2ax_0 + by_0 + d}{bx_0 + 2cy_0 + e}\]所以切線方程式為
\[y - y_0 = y'(x - x_0)\]化簡：
\[\begin{aligned} (y - y_0)(bx_0 + 2cy_0 + e) &= -(2ax_0 + by_0 + d)(x - x_0) \\ y(bx_0 + 2cy_0 + e) + x(2ax_0 + by_0 + d) &= y_0(bx_0 + 2cy_0 + e) + x_0(2ax_0 + by_0 + d) \\ y(bx_0 + 2cy_0 + e) + x(2ax_0 + by_0 + d) &= 2ax_0^2 + 2bx_0y_0 + 2cy_0^2 + dx_0 + ey_0 \end{aligned}\]由於點 $P(x_0, y_0)$ 在曲線上，我們有條件式：
\[ax_0^2 + bx_0y_0 + cy_0^2 + dx_0 + ey_0 + f = 0\]所以切線方程式可以改寫成：
\[\begin{aligned} y(bx_0 + 2cy_0 + e) + x(2ax_0 + by_0 + d) + dx_0 + ey_0 + 2f &= 0 \\ 2axx_0 + b(xy_0 + x_0y) + 2cyy_0 + d(x + x_0) + e(y + y_0) + 2f &= 0 \\ axx_0 + b\frac{x_0y + xy_0}{2} + cyy_0 + d\frac{x + x_0}{2} + e\frac{y + y_0}{2} + f &= 0 \end{aligned}\]得證。
當點不在曲線上
若點 $P(x_0, y_0)$ 是平面上的任意點，用此公式必定可求得一直線。 P點稱作極點，該線稱作極線。
- 當P點在曲線上，極線就是切線。
- 當P點在曲線外，極線就是切點弦。 (由P點向二次曲線做兩條切線，兩切點的連線)
- 當P點在曲線內，極線代表切線交點的軌跡。(過P點的任意割線交二次曲線於兩點，過此兩點分別做切線，其切線交點落在極線上)
- 若極點是二次曲線的焦點，則極線是二次曲線的準線，反之亦然。
矩陣形式
二次函數也可用矩陣形式表示:
\[F(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0\]可改寫為
\[\boxed{ F(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{b}^T \mathbf{x} + f = 0 }\]其中
\[\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \quad A = \begin{bmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} d \\ e \end{bmatrix}\]對 $\mathbf{x}$ 取梯度（偏微分），可求出圖形在任意點 $\mathbf{x}$ 的法向量：
\[\nabla F(\mathbf{x}) = 2A\mathbf{x} + \mathbf{b}\]在切點 $P(\mathbf{x}_0)$ 上，切線的法向量為 $2A\mathbf{x}_0 + \mathbf{b}$。 所以切線方程式為：
\[\begin{aligned} (2A\mathbf{x}_0 + \mathbf{b})^T (\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) = 0 \\ 2\mathbf{x}_0^T A^T \mathbf{x} - 2\mathbf{x}_0^T A^T \mathbf{x}_0 + \mathbf{b}^T \mathbf{x} - \mathbf{b}^T \mathbf{x}_0 = 0 \\ 2\mathbf{x}_0^T A \mathbf{x} - 2\mathbf{x}_0^T A \mathbf{x}_0 + \mathbf{b}^T \mathbf{x} - \mathbf{b}^T \mathbf{x}_0 = 0 \end{aligned}\]由於切點 $P(\mathbf{x}_0)$ 在曲線上，必滿足原方程式 $\mathbf{x}_0^T A \mathbf{x}_0 + \mathbf{b}^T \mathbf{x}_0 + f = 0$，得:
\[2\mathbf{x}_0^T A \mathbf{x} + \mathbf{b}^T (\mathbf{x} + \mathbf{x}_0) + 2f = 0\]等號兩邊同除以 2，即得到切線方程式，亦符合「換一半」的口訣：
\[\boxed{ \mathbf{x}_0^T A \mathbf{x} + \mathbf{b}^T \frac{\mathbf{x} + \mathbf{x}_0}{2} + f = 0. }\]