二次曲線的對偶結構

對於二次曲線

\[F(\mathbf{x})=\mathbf{x}^T A\mathbf{x}+\mathbf{b}^T\mathbf{x}+f=0\]

其中

\[\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}, \quad A=A^T\]

若取平面上一點 $P(\mathbf{x}_0)$，則透過”換一半”公式(即極線公式)可對應到一直線：

\[\ell_P : \mathbf{x}_0^T A\mathbf{x}+\mathbf{b}^T\frac{\mathbf{x}+\mathbf{x}_0}{2}+f=0\]

稱為極點$P$所對應的極線。

對偶結構

“換一半”公式，建立了極點到極線的對應關係:

\[\mathbf{x}_0^T A\mathbf{x}+\mathbf{b}^T\frac{\mathbf{x}+\mathbf{x}_0}{2}+f=0\]

若已知極線 $\mathbf{n}^T \mathbf{x} + k=0$，想反求極點。 先將原式改寫為

\[\begin{aligned} (\mathbf{x}_0^T A+ \frac{1}{2} \mathbf{b}^T)\mathbf{x} + \frac{1}{2} \mathbf{b}^T\mathbf{x}_0 +f=0 \\ (A \mathbf{x}_0 + \frac{1}{2} \mathbf{b})^T \mathbf{x} + \frac{1}{2} \mathbf{b}^T\mathbf{x}_0 +f=0 \end{aligned}\]

因此得到關係式:

\[\begin{aligned} \mathbf{n} = A \mathbf{x}_0 + \frac{1}{2} \mathbf{b} \\ k = \frac{1}{2} \mathbf{b}^T\mathbf{x}_0 + f \end{aligned}\]

若 $A$ 可逆，可解出唯一的極點 $\mathbf{x}_0$。

因此當 $A$ 可逆時，

\[\boxed{ \text{極點 } P \longleftrightarrow \text{極線 } \ell_P }\]

這正是二次曲線中的對偶結構。

La Hire Theorem

設平面上兩點分別為 $P_1(\mathbf{x}_1)$、$P_2(\mathbf{x}_2)$。
若點 $P_2$ 在點 $P_1$ 的極線上，則將 $\mathbf{x}_2$ 代入 $P_1$ 的極線方程式可得：

\[\mathbf{x}_1^T A\mathbf{x}_2+\mathbf{b}^T\frac{\mathbf{x}_1+\mathbf{x}_2}{2}+f=0\]

由於矩陣 $A$ 為對稱矩陣，故有

\[\mathbf{x}_1^T A\mathbf{x}_2 = (\mathbf{x}_1^T A\mathbf{x}_2)^T = \mathbf{x}_2^T A^T\mathbf{x}_1 = \mathbf{x}_2^T A\mathbf{x}_1\]

因此上式等價於

\[\mathbf{x}_2^T A\mathbf{x}_1+\mathbf{b}^T\frac{\mathbf{x}_2+\mathbf{x}_1}{2}+f=0\]

這表示點 $P_1$ 也在點 $P_2$ 的極線上。

所以我們得到：

\[\boxed{ P_2 \text{ 在 } P_1 \text{ 的極線上} \iff P_1 \text{ 在 } P_2 \text{ 的極線上} }\]

這個性質描述極點與極線的對稱性，也稱為 La Hire Theorem。

從 La Hire Theorem，可得到下列對應。

若兩點 $A,B$ 都在某點 $P$ 的極線上，則點 $P$ 也必在 $A,B$ 各自的極線上。
也就是說，若一個點在另外兩點的極線上，則那兩點的極線交於此點。

換句話說，原本「兩點決定一直線」的結構，經過”換一半”公式對應後，會轉成「兩線交於一點」的結構。

因此，對偶關係如下：

• 點 $\longleftrightarrow$ 線
• 共線 $\longleftrightarrow$ 共點
• 兩點連線 $\longleftrightarrow$ 兩線交點

射影平面

到目前為止，我們的討論都在仿射平面 $\mathbb{R}^2$ 中進行。
這樣已足以處理許多問題，但若想把點線對偶寫成沒有例外的理論，仍會遇到一些困難。

1. 平行線沒有交點

在對偶的語言裡，「兩線交於一點」與「兩點連成一直線」應當彼此對應。
但在仿射平面中，平行線沒有交點，因此某些對應會出現缺口。

2. 反求極點時可能失敗

由極線方程式可知，若反過來給定一直線，想求其極點 $\mathbf{x}_0$，便需要解反矩陣。
若 $A$ 不可逆，例如拋物線的情形；以及退化二次曲線中也會出現類似問題，則此反推過程會失效。

因此，為了補足這些缺口，並保留點線對偶的完整結構，我們需要引入齊次座標，將仿射平面擴充為射影平面。

在射影平面中：

• 平行線交於無窮遠點；
• 點與線的角色更對稱；
• 二次曲線可統一表示為單一的齊次二次型。

射影二次曲線

在仿射平面中，二次曲線可寫為

\[F(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\]

引入齊次座標後，可改寫為

\[F(x,y,z)=ax^2+bxy+cy^2+dxz+eyz+fz^2=0\]

其中原仿射平面對應於 $z=1$。

若記

\[\mathbf{X}= \begin{bmatrix} x\\y\\1 \end{bmatrix}\]

則原式可寫成

\[\boxed{ \mathbf{X}^TQ\mathbf{X}=0 }\]

其中

\[Q= \begin{bmatrix} a & \frac{b}{2} & \frac{d}{2} \\ \frac{b}{2} & c & \frac{e}{2} \\ \frac{d}{2} & \frac{e}{2} & f \end{bmatrix} = Q^T\]

因此，原本仿射形式中的二次項、一次項與常數項，統一寫成了一個齊次二次型。

射影平面中的極線

在射影平面中，若取一點

\[\mathbf{X}_0= \begin{bmatrix} x_0\\y_0\\1 \end{bmatrix}\]

則其對應極線為

\[\boxed{ \mathbf{X}_0^TQ\mathbf{X}=0 }\]

這正是仿射平面中”換一半”公式在齊次座標下的寫法，並可改寫為

\[(Q^T\mathbf{X}_0)^T \mathbf{X}=0.\]

若一直線記為

\[\mathbf{L}= \begin{bmatrix} u\\v\\1 \end{bmatrix}\]

則其方程式為

\[u x+v y+z=0\]

亦即

\[\mathbf{L}^T\mathbf{X}=0\]

比較兩式可得

\[\mathbf{L} = Q^T \mathbf{X}_0 = Q \mathbf{X}_0\]

也就是點 $\mathbf{X}_0$ 的極線表示式由矩陣 $Q$ 給出:

\[\boxed{ \mathbf{L}=Q\mathbf{X}_0 }\]

射影平面中的極點

若已知極線 $\mathbf{L}$ ，且矩陣 $Q$ 可逆，則極點表示式由矩陣 $Q^{-1}$ 給出:

\[\boxed{ \mathbf{X}_0=Q^{-1}\mathbf{L} }\]

這意味著，當矩陣 $Q$ 可逆時，平面上的每一個點都能映射到唯一的極線，同時每一條直線也都能反求出唯一的極點。 正是射影平面中”點線對偶”的核心基礎。

關於矩陣 $Q$

那麼矩陣 $Q$ 何時可逆呢？

我們需要區分 $3 \times 3$ 的齊次矩陣 $Q$ 與其左上角 $2 \times 2$ 的二次項矩陣 $A$：

\[Q = \begin{bmatrix} a & \frac{b}{2} & \big| & \frac{d}{2} \\ \frac{b}{2} & c & \big| & \frac{e}{2} \\ - & - & + & - \\ \frac{d}{2} & \frac{e}{2} & \big| & f \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & \frac{1}{2}\mathbf{b} \\ \frac{1}{2}\mathbf{b}^T & f \end{bmatrix}\]

1. 矩陣 $Q$：決定對偶是否成立（圖形是否退化）

• $Q$ 可逆 ($\det(Q) \neq 0$)：代表這是一個非退化二次曲線（橢圓、雙曲線或拋物線)，點線對偶成立。
• $Q$ 不可逆 ($\det(Q) = 0$)：代表這是一個退化二次曲線（退化成交叉直線、平行線或點)，點線對偶不成立。

2. 矩陣 $A$：決定曲線的形狀（無窮遠處的行為）

• $A$ 可逆 ($\det(A) \neq 0$)：圖形有唯一的中心點（橢圓、雙曲線）。
• $A$ 不可逆 ($\det(A) = 0$)：圖形中心點落在無窮遠處（拋物線）。

※ 齊次座標的威力： 在一般的仿射平面中，拋物線因 $\det(A) = 0$ 導致部分直線無法反求極點；但引入齊次座標後，拋物線的 $\det(Q) \neq 0$！ 補足了拋物線在仿射空間中的缺陷，使其在 $3 \times 3$ 的矩陣運算中，依然能透過 $Q^{-1}$ 完美保有極點與極線的一對一對應。

對偶二次曲線

以下考慮 $Q$ 可逆的情形。

若點 $\mathbf{X}$ 在二次曲線上，極線即為該點的切線:

\[\mathbf{L}=Q\mathbf{X}\]

而二次曲線滿足

\[\mathbf{X}^TQ\mathbf{X}=0\]

由於 $Q$ 可逆，可寫成

\[\mathbf{X}=Q^{-1}\mathbf{L}\]

代回原式可得

\[(Q^{-1}\mathbf{L})^TQ(Q^{-1}\mathbf{L})=0\]

由於 $Q=Q^T$，故 $Q^{-1}=(Q^{-1})^T$，因此化簡為

\[\boxed{ \mathbf{L}^TQ^{-1}\mathbf{L}=0 }\]

此式描述的不是曲線上的點，而是此二次曲線的所有切線。
因此稱為原二次曲線的對偶二次曲線。

對於非退化二次曲線，可由兩種方式描述同一個幾何對象。

點的觀點

\[\mathbf{X}^TQ\mathbf{X}=0\]

描述曲線上的所有點。

線的觀點

\[\mathbf{L}^TQ^{-1}\mathbf{L}=0\]

描述與曲線相切的所有直線。

因此，二次曲線不僅可以看成點的軌跡，也可以看成切線的包絡。
這就是射影平面中二次曲線的對偶結構。

Img: Dual of Ellipse.