任意多項式根的 n 次方和
公式
根據代數基本定理，任意 $k$ 次多項式都可寫成
\[f(x)=a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_k).\]若定義根的 $n$ 次方和為
\[S_n=\alpha_1^n+\alpha_2^n+\cdots+\alpha_k^n,\]則有公式
\[\boxed{ \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{S_0}{x} + \frac{S_1}{x^2} + \frac{S_2}{x^3} +\cdots }\]其中
\[S_0=\alpha_1^0+\alpha_2^0+\cdots+\alpha_k^0=k.\]證明
先由 \(1=(x)'=(e^{\ln x})'=(e^{\ln x})(\ln x)'=x(\ln x)'\) 得 \((\ln x)'=\frac{1}{x}.\)
接著對
\[f(x)=a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_k)\]取 $\ln$ 並微分：
\[(\ln f(x))'=(\ln a+\ln(x-\alpha_1)+\ln(x-\alpha_2)+\cdots+\ln(x-\alpha_k))'\]等號兩邊可改寫:
\[\begin{aligned} \frac{f'(x)}{f(x)} &=\frac{1}{x-\alpha_1}+\frac{1}{x-\alpha_2}+\cdots+\frac{1}{x-\alpha_k} \\ &=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{1-\alpha_1/x}+\frac{1}{1-\alpha_2/x}+\cdots+\frac{1}{1-\alpha_k/x}\right) \\ &=\frac{1}{x}\left(\left(1+\frac{\alpha_1}{x}+\frac{\alpha_1^2}{x^2}+\cdots\right)+\left(1+\frac{\alpha_2}{x}+\frac{\alpha_2^2}{x^2}+\cdots\right)+\cdots\right) \\ &=\frac{S_0}{x}+\frac{S_1}{x^2}+\frac{S_2}{x^3}+\cdots \end{aligned}\]※ 此處若從收斂角度看，需有 $|x|>\max\{|\alpha_1|,\dots,|\alpha_k|\}$；但本文只是將其作為 $1/x$ 的展開與係數比較，也就是代數上的改寫，因此收斂與否不影響結論。
例子1
考慮多項式 $f(x)=x^2-4x+5$，設其二根為 $\alpha,\beta$，要求 $\alpha^4+\beta^4$.
先求導數：
\[f'(x)=2x-4.\]做多項式除法 (想像將公式兩邊同乘 $x^{100}$ 會發現跟正常的多項式除法作法一致)：
所以
\[\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}-\frac{6}{x^3}+\frac{4}{x^4}+\frac{-14}{x^5}+\cdots\]由
\[\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{S_0}{x}+\frac{S_1}{x^2}+\frac{S_2}{x^3}+\frac{S_3}{x^4}+\frac{S_4}{x^5}+\cdots\]可得
\[S_4=-14.\]例子2
計算 $(2+i)^{4}+(2-i)^4$ 的數值.
令 $x = 2\pm i$ ，可發現:
\[\begin{aligned} x &= 2\pm i \\ x-2 &= \pm i \\ (x-2)^2 &= (\pm i)^2 \\ (x-2)^2 &= -1 \\ x^2 - 4x + 4 &= -1 \\ x^2 - 4x + 5 &= 0 \end{aligned}\]因此原式所求為方程式 $x^2 - 4x + 5 = 0$ 兩根的四次方和。
在例子1中，我們已經求出
\[S_4=\alpha^4+\beta^4=-14.\]所以
\[\boxed{(2+i)^{4}+(2-i)^4=-14.}\]例子3
考慮矩陣
\[A= \begin{pmatrix} 0 & -5\\ 1 & 4 \end{pmatrix},\]要求
\[\operatorname{tr}(A^4).\]若 $\lambda$ 是矩陣 $A$ 的特徵值，那麼 $\lambda^n$ 會是 $A^n$ 的特徵值。
且由於矩陣的跡是特徵值和，因此我們有:
\[\operatorname{tr}(A^n)=\alpha_0^n+ \dots + \alpha_k^n.\]其中 $\alpha_i$ 是矩陣 $A$ 的特徵值。
矩陣 $A$ 的特徵多項式為
\[\det(xI-A) = \det \begin{pmatrix} x & 5\\ -1 & x-4 \end{pmatrix} = x(x-4)+5 = x^2-4x+5.\]則它的特徵值為 $\alpha,\beta$ 正是多項式
\[f(x)=x^2-4x+5\]的兩個根。
在例子1中，我們已經對 $f(x)=x^2-4x+5$ 求出
\[S_4=\alpha^4+\beta^4=-14.\]因此立刻得到
\[\boxed{\operatorname{tr}(A^4)=-14.}\]